Найдите сумму первых трёх натуральных чисел, которые при делении одновременно на 7, на 9, и на 12 дают в остатке 5
Ответы
Відповідь:Есть трёхзначное число ABC. Делим его на 12, получаем некий ЦЕЛЫЙ результат k и какой-то остаток. В данной задаче этот остаток равен пяти. То есть после умножения числа 12 на k, нужно прибавить 5, чтобы получить число ABC. Таким образом, ABC = 12*k+5, k - натуральное (положительное целое).
Теперь нужно подобрать такие k, при которых ABC - ТРЁХзначное (по условию задачи). Эти k можно просто подобрать, но можно сделать и по-другому.
Наименьшее трёхзначное число это 100. Значит, 12*k должно быть больше 95 (вычитаем остаок 5 из 100), или k>95/12. Получаем k>7,9. Ближайшее целое - это 8. Проверяем: 12*8+5 = 96+5 = 101.
Аналогичным образом находим наибольшее k:
Наибольшее трёхзначное число это 999. Значит, 12*k<994 (вычитаем остаок 5 из 999), т.е. k<994/12, k<82,8. Ближайшее целое - это 82. Проверяем: 12*82+5 = 984+5 = 989.
То есть при k\in[8;82] по формуле 12*k+5 мы получим трёхзначное число.
Сумма этих чисел:
\\\sum_{k=8}^{82}(12k+5)=12\cdot1+5+12\cdot2+5+12\cdot3+5+\dots+12\cdot81+5+12\cdot82+5
В этой формуле 82-8+1=75 членов вида 12k и 75 пятёрок. Вынесем 12 за скобки, а сумму пятёрок представим в виде произведения (5+5+5 = 3*5), получим
\\\sum_{k=8}^{82}(12k+5)=12(8+9+10+\dots+80+81+82)+75\cdot5
Для получения результата сначала сложим все числа в скобках. Получится 3375. Осталось лишь умножить 12 на 3375, 5 на 75 и сложить результаты. Получится 40500+375 = 40875.
Сумму чисел в скобках можно посчитать так: всего чисел 75, среднее арифметическое равно (8+82)/2 = 45, значит сумма этих равна произведению 75*45
Покрокове пояснення:
выше