Question

6.Прямі, які містять бісектриси трикутника ABC, перетинають його описане коло в точках А1, В1, С1. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника АВС є ортоцентром трикутника А1 В1 С1.​

Answer 1

Вершины ABC разбивают окружность на три дуги.

◡AB+◡BC+◡AC=360°

Биссектрисы делят эти дуги пополам.

◡AC1 +◡A1C +◡CB1 =180°

Угол между хордами равен полусумме дуг.

∠T =(◡AC1 +◡A1B1)/2 =180°/2 =90°

Прямая AA1 содержит высоту к стороне B1C1 треугольника А1В1С1.

Аналогично BB1 и СС1.

Таким образом прямые, содержащие биссектрисы ABC, содержат высоты A1B1C1.

Тогда инцентр ABC является ортоцентром A1B1C1.