Question

Рівносторонній трикутник ABC та рівнобедрений трикутник ABD не лежать в одній площині. Знайти двогранний кут з ребром AB , якщо AD=BD=20см , CD= корінь112см , AB=24см

Answer 1

Ответ:

Двугранный угол с ребром АВ равен 30°.

Объяснение:

Пусть Н - середина АВ, тогда DH⊥АВ как медиана и высота равнобедренного треугольника ABD, СН⊥АВ как медиана и высота равностороннего треугольника АВС.

DH⊥АВ, СН⊥АВ, значит

∠CHD - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников - искомый.

$CH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$ см как высота равностороннего треугольника.

ВН = 0,5 АВ = 12 см

Из прямоугольного треугольника DHB по теореме Пифагора:

$DH=\sqrt{DB^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=$

$=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$ см

Из треугольника CHD по теореме косинусов:

$CD^2=CH^2+DH^2-2\cdot CH\cdot DH\cdot \cos\angle CHD$

$\cos\angle CHD =\dfrac{CH^2+DH^2-CD^2}{2\cdot CH\cdot DH}$

$\cos\angle CHD =\dfrac{144\cdot 3+256-112}{2\cdot 12\sqrt{3}\cdot 16}=\dfrac{432+144}{2\cdot 12\sqrt{3}\cdot 16}=\dfrac{576}{2\cdot 12\sqrt{3}\cdot 16}=$

$=\dfrac{18}{12\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

∠CHD = 30°