Question

В чем разница между словами:
Stay-remain
Fee-salary
Fat-stout

Answer 1

STAY,и употребляется слово в более разговорных контекстах, в большем кол-ве сочетаний (stay away, stay up, stay the course). Значений у него несравнимо больше: 
* оставаться (в смысле не уходить) we stayed at home = we remained at home
* оставаться (в смысле по-прежнему быть там-то ) stay in hospital
* оставаться тем же самым stay calm, stay on this road = remain calm,
* оставаться в смысле пожить I'll stay for a week, I stayed at the same hotel, let's stay the night at smb's

REMAIN - приблизительно соответствует 1 и 3 значениям stay,
а также: remain оставаться от чего-то прежнего little of this town remains, a little meat remains
оставаться неизменным, не сделанным to remain on the agenda, to remain unchanged
remain - латинское (через фр.) , более литературное слово, и выражения с ним зачастую более формальные :
it remains to be seen/done.

Salary - заработная плата служащих, офисных работников
Fee - плата за вход (в музей, галерею)

Fat -- жирный, как тюлень 
Stout -- жирный, но накачанный, как медведь