Question

В треугольнике из угла величиной 105° проведена высота длиной 7. Один из острых углов треугольника равен 45°. Найдите длину большей стороны треугольника.

Answer 1

Дано:

∠ABC=105°;

BD⊥AC; BD=7;

∠BAC=45°

Найти: большую сторону треугольника ABC

Решение:

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла. Так как тупой угол в треугольнике является наибольшим, то большая сторона треугольника лежит против угла ABC. Таким образом, нужно найти сторону АС.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол ∠ACB:

$\mathrm{\angle ACB=180^\circ-\angle ABC-\angle BAC}$

$\mathrm{\angle ACB=180^\circ-105^\circ-45^\circ=30^\circ}$

Рассмотрим треугольник BCD. Так как BD - высота, то треугольник BCD прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы:

$\mathrm{BD=\dfrac{1}{2}\, BC}$

$\mathrm{BC=2\,BD}$

$\mathrm{BC=2\cdot7=14}$

Далее, используя теорему Пифагора, определим сторону DC:

$\mathrm{BD^2+DC^2=BC^2}$

$\mathrm{DC=\sqrt{BC^2-BD^2} }$

$\mathrm{DC=\sqrt{14^2-7^2} =\sqrt{147}=7\sqrt{3} }$

Рассмотрим треугольник ABD. Он также является прямоугольным. Кроме того, так как угол BAD равен 45°, то и угол ABD также равен 45°. Значит, этот треугольник равнобедренный. Тогда:

$\mathrm{AD=BD}$

$\mathrm{AD=7}$

Найдем требуемую длину как сумму длин двух отрезков:

$\mathrm{AC=AD+DC}$

$\mathrm{AC=7+7\sqrt{3} }$

Ответ: $7+7\sqrt{3}$