Question

Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, що проходить через вершини A, C і середину ребра BB1. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо AB = m.

Answer 1

Ответ:

Периметр сечения:

$P_{ACK}=m(\sqrt{2}+\sqrt{5})$

Площадь сечения:

$S_{ACK}=\dfrac{m^2\sqrt{6}}{4}$

Объяснение:

Пусть К - середина ребра ВВ₁.

Точки А, С и К можно соединить, так как каждая пара этих точек лежит в одной грани.

АСК - сечение, периметр и площадь которого надо найти.

Если m - длина ребра куба, то

АС = m√2.

ΔКВА:  ∠КВА = 90°, по теореме Пифагора

$KA=\sqrt{KB^2+AB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2+m^2}=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+m^2}=\dfrac{m\sqrt{5}}{2}$

ΔКВА = ΔКВС по двум катетам (АВ = ВС как ребра куба, ВК - общий катет),

$KC = KA = \dfrac{m\sqrt{5}}{2}$

Периметр сечения:

$P_{ACK}=m\sqrt{2}+2\cdot \dfrac{m\sqrt{5}}{2}=m\sqrt{2}+m\sqrt{5}$

$\boldsymbol{P_{ACK}=m(\sqrt{2}+\sqrt{5})}$

Если О - точка пересечения диагоналей квадрата, то ВО⊥АС,

ВО - проекция КО на плоскость основания, тогда и КО⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.

КО - высота треугольника АСК.

ΔКВО:  ∠КВО = 90°,

$BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{m\sqrt{2}}{2}$

по теореме Пифагора:

$KO=\sqrt{KB^2+BO^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2}=$

$=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{2m^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3m^2}{4}}$

$KO=\dfrac{m\sqrt{3}}{2}$

Площадь сечения:

$S_{ACK}=\dfrac{1}{2}AC\cdot KO$

$\boldsymbol{S_{ACK}}=\dfrac{1}{2}\cdot m\sqrt{2}\cdot \dfrac{m\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{=\dfrac{m^2\sqrt{6}}{4}}$