Question

число натуральных делителей 2²×3³×5ⁿ равно 84.найдите ⁿ.

​

Answer 1

Ответ:

6.

Объяснение:

Каждый натуральный делитель этого числа имеет вид

                                        $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c,$

где a - целое неотрицательное число, не большее 2, b - целое неотрицательное число, не большее 3, c - целое неотритцательное число, не большее n. Например,

      $1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0;\ 2=2^1\cdot 3^0\cdot 5^0;\ 12=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0.$

Поэтому a может принимать три значения (0, 1 и 2), b может принимать четыре значения (0, 1, 2 и 3), с может принимать n+1 значение (0, 1, 2, ... , n). Следовательно, наше число имеет

                                     $3\cdot 4\cdot (n+1)=84$

натуральных делителей, откуда

                                       $n+1=7;\ n=6.$