Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

f(x)=x^2-3/x-2

Answer 1

Ответ:

Промежутки монотонности :

Возрастает   когда $x\in (- \infty ~ ; ~ 2 ) \cup [3 ~; ~ \infty )$

Убывает когда    $x\in (~2 ~; ~3~]$

Экстремумы :

x = 1  ,  y  = 2    -   точка минимума

x = 3  ,  y = 6  - точка максимума

Объяснение:

Найдите промежутки роста и убывания и точки экстремума функции:

$f(x)= \dfrac{x^2- 3}{x-2}$

Находим производную:

$\displaystyle f'(x)= \left (\dfrac{x^2- 3}{x-2} \right )' = \frac{(x^2-3 )'(x-2)- (x^2-3)(x-2)'}{(x-2)^2 } = \\\\\\ = \frac{2x (x-2)- (x^ 2-3)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 -4x -x^2 + 3}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x + 3}{(x-2)^2}$

Находим промежутки монотонности :

$\displaystyle\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2} =0$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.95,-0.3) {\sf 1} \put(1 ,0.1){ \Large \text{~~~ +} } \put(.1 ,0.1){ \Large \text{~~ +} } \put(2.1 ,0.1){ \LARGE \text{ ~~---} } \put(3.1 ,0.1){ \Large \text{ ~~+} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 2}\put(2.05,0){\circle{0.05}} \put(3,-0.3) {\sf 3}\put(3,0){\circle*{0.05}} \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

Тогда  функция :

$\LARGE \boldsymbol{ \Uparrow }$ Возрастает   когда $x\in (- \infty ~ ; ~ 2 ) \cup [3 ~; ~ \infty )$

$\LARGE \boldsymbol{ \Downarrow }$   Убывает когда    $x\in (~2 ~; ~3~]$

Находим экстремумы

(Берем закрашенные точки с интервала )

$y _{min} = y( 1) = \dfrac{1^2 -3}{1-2} = 2\\\\\\ y _{max}= y(3) =\dfrac{(3)^2-3}{3-2} = 6$