Question

Найдите определённый интеграл методом интегрирования по частям :интеграл от 0 до 1 xe^2x dx

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle\int_{0}^{1} x {e}^{2x} dx$

Найдем сам интеграл для начала.

$u = x \\ dv = {e}^{2x}$

$du = x' \\ v = \int {e}^{2x}$

$du = 1 \\ v = \frac{ {e}^{2x} }{2}$

Формула интегрирования по частям:

$\displaystyle \int u \times dv = u \times v - \int v \times du$

$\displaystyle x \times \frac{ {e}^{2x} }{2} - \int \frac{ {e}^{2x} }{2} \times 1dx = \frac{x \times {e}^{2x} }{2} - \frac{ {e}^{2x} }{4} | _{0}^{1}$

$\frac{1 \times {e}^{2 \times 1} }{2} - \frac{ {e}^{2 \times 1} }{4} - ( \frac{0 \times {e}^{2 \times 0} }{2} - \frac{ {e}^{2 \times 0} }{4} ) = \frac{ {e}^{2} }{2} - \frac{ {e}^{2} }{4} + \frac{1}{4} = \frac{ {e}^{2} + 1}{4}$