Question

Доказать , что если a,b,c — натуральные числа и a+b+c кратно 30 , то и $a^ 5 + b^5 + c^5$ кратно 30.

Answer 1

Ответ:

Доказано.

Пошаговое объяснение:

Заметим, что 30=6·5. Докажем по отдельности, что $a^5+b^5+c^5$ делится на 6 и 5.

1) Делимость на 6 (иными словами, делимость на 2 и 3) очевидна:

      $a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2+1).$

Первые три множителя образуют множество трех последовательных целых чисел, среди которых обязательно встретится хотя бы одно четное число, а также обязательно встретится число, делящееся на 3.

Поэтому $(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)$ делится на 6, а раз a+b+c делится на 6, то и $a^5+b^5+c^5$ делится на 6.

2) Делимость на 5 проще всего доказывается с помощью малой теоремы Ферма, по которой для  любого простого числа p (в нашем случае p будет равно 5) $a^p-a$ делится на p.