Question

Астероид В-612 был замечен в телескоп лишь один раз, в 1909 году, одним турецким астрономом. Тот же турецкий астроном описал расстояние от Земли до астероида: у него получилась квадратичная функция s(t)=at^2+bt+c. Однако большая часть данных потерялась. Осталось известно только то, что расстояние было равно 41 млн.км при t=3, 20 млн.км при t=5 и достигло своего минимума при t=7. Найдите минимальное расстояние (в млн.км), на которое астероид приблизился к Земле.

Answer 1

$s(t)=at^2+bt+c$

Пусть значения $s(t)$ даются в млн.км.

По условию, расстояние было равно 41 млн.км при t=3:

$s(3)=41$

$a\cdot3^2+b\cdot3+c=41$

$9a+3b+c=41$

По условию, расстояние было равно 20 млн.км при t=5:

$s(5)=20$

$a\cdot5^2+b\cdot5+c=20$

$25a+5b+c=20$

По условию, расстояние достигло своего минимума при t=7. Квадратичная функция достигает своего минимума в вершине:

$t_{\min}=7$

$-\dfrac{b}{2a} =7$

Объединим три получившихся соотношения в систему:

$\begin{cases} 9a+3b+c=41 \\ 25a+5b+c=20 \\ -\dfrac{b}{2a} =7 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

$b=-14a$

Подставим в оставшиеся уравнения:

$\begin{cases} 9a+3\cdot(-14a)+c=41 \\ 25a+5\cdot(-14a)+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} 9a-42a+c=41 \\ 25a-70a+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} -33a+c=41 \\ -45a+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} -33a+c=41 \\ 45a-c=-20 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$12a=21$

$a=\dfrac{21}{12} =\dfrac{7}{4}$

Из любого уравнения выразим "с":

$c=41+33a$

$c=41+33\cdot\dfrac{7}{4}=41+\dfrac{231}{4}=41+57\dfrac{3}{4}=98\dfrac{3}{4}$

Найдем "b":

$b=-14\cdot\dfrac{7}{4} =-\dfrac{49}{2}$

Тогда, квадратичная функция имеет вид:

$s(t)=\dfrac{7}{4} t^2-\dfrac{49}{2} t+98\dfrac{3}{4}$

Минимум функции соответствует значению функции в вершине:

$s_{\min}=s(t_{\min})=s(7)=\dfrac{7}{4} \cdot7^2-\dfrac{49}{2} \cdot7+98\dfrac{3}{4}=$

$=\dfrac{343}{4} -\dfrac{343}{2} +98\dfrac{3}{4}=-\dfrac{343}{4} +98\dfrac{3}{4}=-85\dfrac{3}{4} +98\dfrac{3}{4}=13$

Таким образом, минимальное расстояние, на которое астероид приблизился к Земле, равно 13 млн.км

Ответ: 13 млн.км