Question

Допоможіть будь ласка!!!!
$|x| - |x - 2| > \frac{1}{3}$
$|2x - 1| - |x - 4| > 4$
​

Answer 1

№1

$|x| - |x-2| > \dfrac{1}{3}$

$x= 0 ~~ ; ~~ x - 2 =0 \\\\x = 0 ~~ ; ~~ x = 2$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.9,-0.2) {\sf 0} \put(0 ,0.09){ \Large ~~~~~I } \put(1.02 ,0.09){ \Large ~~~~~II } \put(2 ,0.09){ \Large ~~~~~III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){2}} \put(2,-0.2) {\sf 2} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \put(2.94,-0.15){\sf x} \end{picture}$

    —                      +                         +                  x

    —                      —                          +                   x  -2

$\text{I} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x < 0 \\\\ -x -(-(x-2)) > \dfrac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < 0 \\\\- 2 > \dfrac{1}{3} ~~\varnothing \end{array} ~~\Leftrightarrow ~~ \varnothing$

$\text{II} )~~ \left \{ \begin{array}{l} 0\leqslant x < 2 \\\\ x -(-(x-2)) > \dfrac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0\leqslant x < 2 \\\\ 2x-2 > \dfrac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0\leqslant x < 2 ~\\\\ x > \dfrac{7}{6} \end{array} \Leftrightarrow \dfrac{7}{6} < x < 2$

$\text{III} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant 2 \\\\ x -(x-2) > \dfrac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant 2 \\\\2 > \dfrac{1}{3} \end{array} ~~\Leftrightarrow ~~ x \geqslant 2$

Находим объединение

$\text{II}) ~x \in \bigg(\dfrac{7}{6} ~; ~2\bigg ) \\\\\\\ \text{III})~x \in [~~2 ~ ; ~ \infty ~)$

Выйдет

Ответ :  $x \in \bigg(\dfrac{7}{6} ~; ~\infty \bigg )$  ( т.к   это модульное неравенство )

№2

$|2x-1| -|x-4| > 4$

$2x -1 =0 ~~ ; ~~ x -4 = 0 \\\\ x = 0,5 ~~~~~~ ; ~~ x = 4$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.9,-0.2) {\sf 0,5} \put(0 ,0.09){ \Large ~~~~~I } \put(1.02 ,0.09){ \Large ~~~~~II } \put(2 ,0.09){ \Large ~~~~~III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){2}} \put(2,-0.2) {\sf 4} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \put(2.94,-0.15){\sf x} \end{picture}$

     —                        +                            +                  2x - 1

      —                       —                            +                   x  -  4

$\text{I} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x < 0,5 \\\\ -(2x-1) -(-(x-4)) > 4 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < 0,5 \\\\- 2x + 1 + x -4 > 4 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x < 0,5 \\\\ x < -7 \end{array} \Leftrightarrow x < -7$

$\text{II} )~~ \left \{ \begin{array}{l} 0,5\leqslant x < 4 \\\\ (2x-1) -(-(x-4)) > 4 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0,5\leqslant x < 4 \\\\ 2x - 1 + x -4 > 4 \end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0,5\leqslant x < 4 \\\\ x > 3\end{array} \Leftrightarrow~~ 3 < x < 4$

$\text{III} )~~ \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant 4 \\\\ 2x+1 -(x-4) > 4 \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x \geqslant 4 \\\\ x+3 > 4 \end{array} ~~\Leftrightarrow ~~ x \geqslant 4$

$\text{I}) ~x \in (-\infty ~ ; ~- 7 ~) \\\\\ \text{II})~x \in (~~3 ~ ; ~ 4 ~) \\\\ \text{III}) ~ x\in [ 4 ~ ; ~ \infty )$

После объединения :

Ответ :  $x \in (- \infty ~ ; ~ -7) \cup (3 ~; ~ \infty ~)$