Срочно! Нужно доказать утверждение о делимости. Квадрат, любого простого числа p≥5 при делении на 24 дает остаток 1.
Ответы
Лемма 1. Любое простое можно представить либо как
, либо как
Доказательство. Проверим для первых двух:
Докажем в общем виде. Любое натуральное число при делении на 6 может дать один из шести остатков от 0 до 5, то есть его можно представить одним из шести способов:
Все числа, кроме и
, являются составными (потому что 6 делится на остаток). Перепишем
следующим образом:
Сделав замену , получим, что простое число можно представить либо в виде
, либо
. Но
— тоже натуральное число, только записанное другой буквой. Лемма доказана.
Лемма 2. При любом натуральном число
чётно.
Доказательство. . Если
чётно, то утверждение очевидно. Если
нечётно, то
тоже нечётно, а значит,
чётно. Лемма доказана.
Теперь докажем требуемое утверждение.
Доказательство. По лемме 1 число можно представить либо как
, либо
:
По лемме 2 число в скобках делится на 2, а значит, его можно записать в виде Получим:
Эта запись и означает, что число при делении на 24 даёт остаток 1. Утверждение доказано.
Если что-нибудь непонятно — спрашивай.