Question

Срочно нужно решение.
В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 градусов, угол abc = 30 градусов, AC= 2 , E и F -середины AB и BC соответственно.Найдите 1) вектор BA умноженное на вектор BC. 2) вектор BA умноженное на вектор AC. 3) вектор EF умноженное на вектор BC.

Answer 1

Произведение векторов - это их скалярное произведение.
Скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
Скалярное произведение можно записать еще как: a•b=|a|•|b|*cosα
Модуль (длина) вектора АВ ( гипотенуза) =4, так как катет АС лежит против угла 30°. <А=60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). EF - средняя линия треугольника EF=2 и она перпендикулярна катету ВС (так как параллельна катету АС).
Модуль вектора ВС по Пифагору равен √(16-4)=2√3.
В нашем случае:
1) Вектора (ВА*ВС)=|BA|*|BC|*CosB = 4*2√3*(√3/2)=12.
2) Вектора (ВА*АС)=|BA|*|АC|*CosА = 4*2*(1/2)=4.
3) Вектора (ЕF*ВС)=|EF|*|ВC|*Cos90° = 0.

Второй вариант:
(a,b)=x1*x2+y1*y2.
Привяжем начало координат к точке С.
Тогда имеем точки С(0;0), А(0;2), В(2√3;0), Е(√3;1) и F(√3;0).
Координаты векторов:
ВА{-2√3;2}, BC{-2√3;0}, AC{0;-2}, EF{0;-1}.
Тогда
1) (ВА*ВС)=12+0=12.
2) (ВА*АС)=0+4=4.
3) (ЕF*ВС)=0+)=0.

P.S.Найдем косинус угла между векторами EF и ВС по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)] или
cosα=(0*(-2√3)+(-1)*0)/(√(0+1)*√(12+0)) =0/2√3=0.
Значит угол между этими векторами 90°.