Question

Задание 4 вариант б
Помогите пожалуйста

Answer 1

Перед нами задача Коши. Введём обозначение $S'(t)=V(t)$, где $S(t)$ — функция, описывающая изменение массы. Задача задана двумя условиями:

$\begin{cases}S'(t)=-km_0 \, e^{-kt} \\S(t_0)=m_0\end{cases}$

Найдём $S(t):$

$S(t)=\displaystyle \int V(t) \, dt=\int -km_0 \, e^{-kt} \, dt=-km_0\int e^{-kt}dt=\\=-km_0\int \left(e^{-k}\right)^t dt=-km_0 \cdot \dfrac{\left(e^{-k}\right)^t}{\ln e^{-k}}+C=\\=-km_0 \cdot \dfrac{e^{-kt}}{-k}+C=m_0 \, e^{-kt}+C$

Подберём константу. В момент времени $t=t_0$ масса должна быть равна $m_0$ :

$S(t_0)=m_0 \cdot e^{-kt_0}+C=m_0\\C=m_0-m_0 \, e^{-kt_0}=m_0 \cdot \left(1-e^{-kt_0}\right)$

Откуда получим ответ:

$S(t)=m_0 \, e^{-kt}+m_0 \cdot \left(1-e^{-kt_0}\right)$

Можно ещё вынести за скобки $m_0$:

$S(t)=m_0 \cdot \left(e^{-kt}-e^{-kt_0}+1\right).$

На скриншоте проверка на компьютере.

Если что-нибудь непонятно — спрашивай.