Question

помогите решить 2 задание 9-й вариант даю 40 баллов

Answer 1

Ответ:

$z = {( - 1 - i)}^{16}$

Комплексное число имеет вид: z=a+bi

В нашем случае a=-1, b=-1

Надо написать в полярной форме:

$z = r( \cos( \phi) + i \ \sin( \phi) )$

Найдём радиус по формуле: r²=a²+b²

$r = \sqrt{( { - 1)}^{2} + {( - 1)}^{2} } \\ r = \sqrt{2}$

Формула угла:

$\phi = \arctan( \frac{b}{a} )$

$\phi = \arctan( \frac{ - 1}{ - 1} ) = \arctan(1)$

Поскольку, (-1;-1) находится на третьей четверти ответ угол будет в промежутке (180;270).

$\phi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$

Запишем в полярной (тригонометрической) форме.

$z = {( \sqrt{2} ( \cos( \frac{5\pi}{4} ) + i \ \sin( \frac{5\pi}{4} ) )}^{16}$

Формула Муавра:

$z = {r}^{n} ( \cos(n \times \phi) + i \ \sin(n \times \phi) )$

$z = {\sqrt{2}}^{16} \times ( \cos(16 \times \frac{5 \pi }{4} ) + i \sin(16 \times \frac{5\pi}{4} ) ) \\ z = {2}^{8} ( \cos(20\pi) + i \sin(20\pi) ) \\ z = 256( \cos(0 + 2 \times 10\pi) + i \sin(0 + 2 \times 10\pi)) \\ z = 256( \cos(0) + i \sin(0) )$