Question

1 Задание
Дробно-Линейная функция задана уравнением f(x)=ax-5/x+b
a) Асимптоты функции имеют уравнения x=-1 y=-2. Найдите значение переменных a и b
b) Используя результаты предыдущего действия:
1. Приведите функцию f(x)=ax-5/x+b к виду y=n+ k/x+m;
2. Найдите точки пересечения функции с осями координат
3. Постройте график функции

2 Задание
a) Найдите обратную функцию для функции f(x)=ax-5/x+b с полученными значениями переменных a и b
b) Как будет расположен график обратной функции относительно первоначальной

Подробнее на фото. пожалуйста


​

Answer 1

Ответ:

3)      $\bf f(x)=\dfrac{ax-5}{x+b}$  

a)  Вертикальная асимптота  имеет уравнение  $\bf x+b=0\ \ \ \to \ \ \ x=-b$  . По условию задана вертикальная асимптота  $\bf x=-1$  , поэтому  имеем

$\bf -1=-b\ \ ,\ \ \ b=1$  .

Горизонтальная асимптота будет иметь уравнение  $\bf y=const$  , где константа (число) равна отношению коэффициентов перед  х  в числителе и знаменателе :  $\bf y=\dfrac{a}{1}\ ,\ \ y=a$  .

По условию  $\bf y=-2$  ,  значит   $\bf a=-2$  .

Заданная функция имеет вид:   $\bf y=\dfrac{-2x-5}{x+1}\ \ ,\ \ \ y=-\dfrac{2x+5}{x+1}$   .

$b)\ \ \ 1)\ \ \bf y=n+\dfrac{k}{x+m}$    

$\bf \displaystyle-\frac{2x+5}{x+1}=-2\cdot \frac{2x+5}{2x+2}=-2\cdot \frac{(2x+2)-2+5}{2x+2}=-2\cdot \Big(1+\frac{3}{2x+2}\Big)=\\\\\\=-2-\frac{2\cdot 3}{2\, (x+1)}=-2+\frac{-3}{x+1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ n=-2\ ,\ k=-3\ ,\ m=1$

2)  Точки пересечения с осями координат:

$\bf OY:\ \ x=0\ ,\ f(0)=-\dfrac{2\cdot 0+5}{0+1}=-\dfrac{5}{1} =-5$   ,  точка  $\bf (\, 0\, ;\, -5\, )$  

$\bf \ OX:\ \ y=0\ ,\ -\dfrac{2x+5}{x+1}=0\ \ ,\ \ 2x+5=0\ \ ,\ \ x=-2,5$  ,

                                                                             точка  $\bf (-2,5\ ;\ 0\ )$  

3)  График на рисунке .

4)  Обратная функция для  функции   $\bf y=-\dfrac{2x+5}{x+1}$   .

Выразим сначала  х  через  у  , а затем поменяем обозначения (х на у ,  у на х ) .

$\bf y\, (x+1)=-(2x+5)\ \ ,\ \ \ yx+y=-2x-5\ \ ,\ \ \ yx+2x=-y-5\ ,\\\\x\, (y+2)=-(y+5)\ \ ,\ \ \ x=-\dfrac{y+5}{y+2}$

Обратная функция:   $\bf y=-\dfrac{x+5}{x+2}$  .

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой  у=х ( биссектрисы 1 и 3 координатных углов ) .