Question

Основою прямого паралелепіпеда є ромб із гострим кутом а. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює d і утворює з площиною основи кут В. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности равна: $S = d^2\dfrac{sin(2B)}{cos(a/2)}$

Объяснение:

Основой прямого параллелепипеда является ромб с острым углом а. Большая диагональ параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол В. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

-------

Боковое ребро параллелепипеда перпендикулярно основанию, поскольку параллелепипед прямой и равна:

h = d·sin(B)

Большая диагональ основания параллелепипеда равна:

L = d·cos(B)

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делятся в точке пересечения пополам, а также являются биссектрисами углов. Отсюда найдем сторону ромба (основания):

$\bold{c} = \dfrac{L/2}{cos(a/2)} = \dfrac{L}{2cos(a/2)}$

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, их в параллелограмме 4, и площадь каждой из них равна:

$S_1 = h*c = d\cdot sin(B)\cdot\dfrac{L}{2cos(a/2)} = d\cdot sin(B)\cdot \dfrac{d\cdot cos(B)}{2cos(a/2)}=d^2\, \dfrac{sin(B)cos(B)}{2cos(a/2)}$

$\boxed{sin\,2x = 2\,sin\,x\,cos\,x} \longrightarrow sin\,B\, cos\,B = \dfrac{sin\,2B}{2}$

$S_1 = d^2\cdot \dfrac{sin(2B)}{4\,cos(a/2)}$

Площадь полной боковой поверхности:

$S = 4S_1 = 4d^2 \dfrac{sin(2B)}{4cos(a/2)} = d^2\dfrac{sin(2B)}{cos(a/2)}$