Question

1) При каких значениях параметра "a" уравнение
имеет два различных корня, причем оба больше − 1?
x²+2(a-2)x-4a+5=0

2) При каких значениях параметра "a" решением неравенства
является отрезок [2;3]?
x²-(a²-2a-3)x+a²+2<=0

Answer 1

Ответ:

$1)~ a \in ( - \infty ~ ; ~ -1) \cup \bigg( 1 ~ ; ~ \dfrac{5}{3} \bigg )$  

$2) ~ a = -2$

Объяснение:

1) При каких значениях параметра "a" уравнение

имеет два различных корня, причем оба больше − 1?

x²+2(a-2)x-4a+5=0

Поскольку   уравнение должно иметь два различных корня *  , то D>0

$D= 4(a-2)^2 +16a -20 = 4a^2 -16a + 16 - 16a - 20 = \\\\ =4a^2 -4 > 0$

$4(a-1 )(a+1) > 0$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.88,-0.3) {\sf - 1} \put(1 ,0.1){ \LARGE \text{~~~ ---} } \put(.1 ,0.1){ \Large ~~\text{ +} } \put(2.1 ,0.1){ \Large~ \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 1}\put(2.05,0){\circle{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

$\boxed{a \in ( - \infty ~ ; ~ -1) \cup ( 1 ~ ; ~ \infty~ )}$

Теперь  учтем , что уравнение имеет два различных корня оба больших − 1

$\displaystyle x_1 =\frac{-2a + 4 +2\sqrt{a^2-1} }{2} > - 1 \\\\\\ x_2 =\frac{-2a + 4 -2\sqrt{a^2-1} }{2} > - 1$

Вспомним , что  неравенство  $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем :

$\left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} f(x)\geqslant 0 \\\\ g(x) < 0 \end{array} \right. \\\\ \left \{ \begin{array} ff (x) > g^2(x)\\\\ g(x)\geqslant 0 \end{array} \end{array}$

Решаем первое неравенство

$\displaystyle \frac{-2a + 4 +2\sqrt{a^2-1} }{2} > - 1 \\\\ -a +2 +\sqrt{a^2 -1} > -1 \\\\ \sqrt{a^2 -1} > a-3$

Вспомним , что  неравенство  $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем :

$\left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} f(x)\geqslant 0 \\\\ g(x) < 0 \end{array} \right. \\\\ \left \{ \begin{array} ff (x) > g^2(x)\\\\ g(x)\geqslant 0 \end{array} \end{array}$

I)

$\left \{ \begin{array}{l} a^2 -1 \geqslant 0 \\\\a-3 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a\in (-\infty ~ ; ~ -1~ ] \cup [ 1 ~ ; ~ \infty ~) \\\\a \in ( - \infty ~; ~ 3 ) \end{array} \right. \Leftrightarrow \\\\ \\\\ \Leftrightarrow a \in ( - \infty ~; ~- 1~ ]\cup [~1 ;3~)$

II)

$\left \{ \begin{array}{l} a^2 - 1 > ( a-3)^2 \\\\ a-3 \geqslant 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a > \dfrac{5}{3} \\\\ a\geqslant 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow a \in [ ~ 3 ~: \infty ~)$

Находим объедение для обоих случаев:

$I) ~ a \in ( - \infty ~; ~- 1~ ]\cup [~1 ;3~)$

$II ) ~a \in [ ~3~ ; ~ \infty )$

Тогда для первого неравенства выйдет промежуток :

$\boxed{a\in ( - \infty ~ ; - 1] \cup ~[ 1 ~~ ; ~ \infty ~)}$

Решаем второе

$\displaystyle \frac{-2a + 4 -2\sqrt{a^2-1} }{2} > - 1 \\\\ -a +2 - \sqrt{a^2 -1} > - 1 \\\\ \sqrt{a^2-1} < 3-a$

Вспомним , что  неравенство  $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе :

$\left \{ \begin{array}{l} f(x) < g^2(x)\\\\ g(x) > 0 \\\\ f(x)\geqslant 0 \end{array} \right.$

Соответственно :

$\left \{ \begin{array}{l} a^2 -1 < (3-a)^2\\\\ 3-a > 0 \\\\ a^2 - 1\geqslant 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a < \dfrac{5}{3} \\\\ a < 3 \\\\ a\in (-\infty ~ ; ~ -1~ ] \cup [ 1 ~ ; ~ \infty ~) \end{array} \right.\Leftrightarrow \\\\\\\ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a < \dfrac{5}{3} \\\\ a\in (-\infty ~ ; ~ -1~ ] \cup [ 1 ~ ; ~ \infty ~) \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \boxed{a\in (-\infty ~ ; ~ - 1] \cup \bigg [1 ~~;~~\dfrac{5}{3}\ \bigg ) }$

Находим объедение  промежутков для    D > 0 ,  x₁ > -1 , x₂ > -1

$a \in ( - \infty ~ ; ~ -1) \cup ( 1 ~ ; ~ \infty~ )$

$a\in ( - \infty ~ ; - 1] \cup ~[ 1 ~~ ; ~ \infty ~)$

$a\in (-\infty ~ ; ~ - 1] \cup \bigg [1 ~~;~~\dfrac{5}{3}\ \bigg )$

Выйдет  промежуток :

$\boldsymbol{a \in ( - \infty ~ ; ~ -1) \cup \bigg( 1 ~ ; ~ \dfrac{5}{3} \bigg )}$

2) При каких значениях параметра "a" решением неравенства

является отрезок [2;3]?

x²-(a²-2a-3)x+a²+2≤0

Воспользуемся теоремой Виета

$\left \{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = a^2 -2a -3= 2 + 3 \\\\ x_1 \cdot x_2 =a^2 +2 = 2\cdot 3 \end{array}$

$1)~a^2 -2a - 3 = 5 \Leftrightarrow a^2 - 2a - 8 = 0 \Leftrightarrow a_ 1 =4 ~ ; ~ a_2 =- 2\\\\\\ 2)~a^2+ 2 = 6 \Leftrightarrow a_{1,2} =\pm 2$

У данных уравнений один общий корень   a = -2

Соответственно  при      a = -2  решением уравнения является отрезок  [2;3]