Question

Помогите пожалуйста даю 40 баллов

Answer 1

a)

$\displaystyle \frac{4}{\cos ^2 ( \frac{7}{2}\pi-x ) } -\frac{11}{\cos x } + 6 = 0$

Упростим :

$\sin (\frac{7\pi }{2} -x ) = \sin (2\pi + \frac{3\pi }{2} - x ) = \sin (\frac{3\pi }{2}-x ) = -\cos x$

$\displaystyle \frac{4}{\cos^2x } -\frac{11}{\cos x } + 6 = 0$

Вводим замену :

$t =\dfrac{1}{\cos x} ~ ; ~ t^2 = \dfrac{1}{\cos ^2 x}$

$4t^2 - 11t + 6 = 0 \\\\ D = 121 - 96 = 25 \\\\ t _ 1= \dfrac{11+5}{8} = 2 \\\\ t_2 = \dfrac{11-5}{8} = \cfrac{3}{4}$

Вернемся к старым переменным

$\dfrac{1}{\cos x} = 2 \\\\ \cos x = \dfrac{1}{2} \\\\ x = \pm\arccos (\frac{1}{2}) +2\pi n \\\\ \boxed{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z}$

$\dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{3}{4} \\\\\\ \cos x = \dfrac{4}{3} ~~\varnothing$

                                                     

б)

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z$

Находим корни принадлежащие отрезку  [2π ; 7π/2]

При  n = 1

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi \\\\\\\ x_1 = \cfrac{7\pi }{3} ~ \checkmark \\\\ x_2 = \cfrac{5\pi }{3}~ \checkmark$

При  n = 2

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 4\pi \\\\\\\ x_1 = \cfrac{13\pi }{3} ~\varnothing \\\\ x_2 = \cfrac{11\pi }{3} ~ \varnothing$