Question

Найдите производный функции. y = x^x

Answer 1

$y = x^x$

Для нахождения производной показательно-степенной функции необходимо использовать логарифмическое дифференцирование.

Найдем логарифм левой и правой части:

$\ln y = \ln x^x$

По свойствам логарифмов в правой части получим:

$\ln y =x \ln x$

Дифференцируем левую и правую часть:

$(\ln y)' =(x \ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y' =x'\cdot \ln x+x\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y' =1\cdot \ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y' = \ln x+1$

Выражаем производную:

$y' =y\cdot( \ln x+1)$

Подставим соотношение для "y":

$y' =x^x( \ln x+1)$

Ответ: А