Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному проміжку.
f(x)=x^2+5/x-2, [3,6]

Answer 1

Ответ:

$y_{max}=14 ~~;~~y_{min}=10$

Объяснение:

$\displaystyle f(x) = \frac{x {}^{2} + 5}{x - 2} \: \: , \: x \in[3;6]$

Производная этой функции:

$\displaystyle f'(x) = ( \frac{x { }^{2} + 5}{x - 2} )'$

Воспользуемся одним из свойств производных:

$\displaystyle \boldsymbol{( \frac{v}{u} )' = \frac{vu' - v'u}{u {}^{2} } }$

$\displaystyle f'(x) = \frac{(x {}^{2} + 5) \cdot(x - 2) ' - (x {}^{2} + 5) ' \cdot (x - 2)}{(x - 2) {}^{2} } = \\ = \frac{(x {}^{2} + 5) \cdot1 - 2x \cdot(x - 2)}{(x - 2) {}^{2} } = \\ = \frac{x { }^{2} + 5 - 2x {}^{2} + 4x }{(x - 2) {}^{2} } = \boldsymbol{ \frac{ x {}^{2} - 4x - 5 }{(x - 2) {}^{2} } }$

Найдём критические точки , f'(x) = 0

$\displaystyle \frac{x {}^{2} - 4x - 5 }{(x - 2) {}^{2} } = 0$

Дробь равна нулю только когда числитель равен нулю

$x {}^{2} - 4x - 5 = 0 \\ D = ( - 4) {}^{2} - 4 \cdot1 \cdot( - 5) = 16 + 20 = 36 \\ x_1 = \frac{ 4 + \sqrt{36} }{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \\ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36} }{2} = \frac{4 - 6}{2} = - 1 \not \in[3;6]$

Найдём значения функции  в точках концов промежутка и в точке 5 , т.к 5 принадлежит промежутку [3;6]

$\displaystyle f(3)=\frac{3^2+5}{3-2} =14\\f(5)=\frac{5^2+5}{5-2} =\frac{30}{3} =10\\f(6)=\frac{6^2+5}{6-2} =\frac{41}{4} =10,25$

f(3) - наибольшее ; f(5) - наименьшее