Question

Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку:

Answer 1

Ответ:

2932.    у наиб.=  $\displaystyle 1\frac{1}{3}$ ;     у наим. =  $\displaystyle -1\frac{1}{3}$

2033.    y наиб. = 17;     у наим. = 9

Пошаговое объяснение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^3-2x,\;\;\;\;\;x\in[0;\;2] \\\\y=-2x^3+6x^2+0,\;\;\;\;\;x\in[0;\;3]$

1. $\displaystyle y=\frac{2}{3}x^3-2x,\;\;\;\;\;x\in[0;\;2]$

Найдем значения функции на концах отрезка:

$\displaystyle y(0)=\frac{2}{3}\cdot0-2\cdot0 = \boxed {0},\\\\y(2)= \frac{2}{3}\cdot2^3-2\cdot2=5\frac{1}{3}-4= \boxed {1\frac{1}{3}}$

Найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{2}{3} \cdot3x^2-2=2x^2-2$

Приравняем к нулю и найдем корни:

$\displaystyle 2(x-1)(x+1)=0\\\\x_1=1;\;\;\;\;\;x_2=-1$

x₂ - не входит в данный промежуток.

Определим знаки производной на промежутках.

$-----[1]+++++$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒   x min = 1

$\displaystyle y(1)=\frac{2}{3} \cdot1-2\cdot1=\boxed {-1\frac{1}{3}}$

⇒ у наиб.=  $\displaystyle 1\frac{1}{3}$ ;     у наим. =  $\displaystyle -1\frac{1}{3}$

Аналогично решаем второй.

2.   $\displaystyle y=-2x^3+6x^2+0,\;\;\;\;\;x\in[0;\;3]$

$\displaystyle y(0)=-2\cdot0+6\cdot0+9=\boxed {9}\\\\y(3)=-2\cdot3^3+6\cdot3^2+9=-54+54+9=\boxed {9}$

Производная:

$\displaystyle y'=-2\cdot3x^2+6\cdot2x=-6x^2+12x\\\\-6x(x-2)=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=2$

$---[0]+++[2]---$

x min = 0;     x max = 2

$\displaystyle y(2)=-2\cdot8+6\cdot4+9=-16+24+9=\boxed {17}$

⇒ y наиб. = 17;     у наим. = 9

Answer 2

Ответ:

2932.

у = 2/3•х³ - 2х, отрезок [0;2].

1) y' = (2/3•х³ - 2х)' = 2/3•3x² - 2 = 2x² - 2;

2) y' = 0,

2x² - 2 = 0

2x² = 2

x² = 1

x = ± 1

Указанному отрезку принадлежит только х = 1.

3) Найдём значения функции в точке х = 1 и на концах отрезка. Выберем из них наибольшее и наименьшее:

у(1) = 2/3•1³ - 2•1 = 2/3 - 2 = - 1 1/3 - наименьшее;

у(0) = 2/3•0³ - 2•0 = 0;

у(2) = 2/3•2³ - 2•2 = 2/3 •8 - 4 = 5 1/3 - 4 = 1 1/3 - наибольшее.

Ответ: - 1 1/3 - наименьшее значение функции у = 2/3•х³ - 2х на отрезке [0;2],

1 1/3 - наибольшее значение функции у = 2/3•х³ - 2х на отрезке [0;2] .

2933.

у = - 2х³ + 6х² + 9, отрезок [0;3].

1) y' = (- 2х³ + 6х² + 9)' = - 6х² + 12х + 0 = - 6х² + 12х.

2) y' = 0,

- 6х² + 12х = 0

х² - 2х = 0

х(х - 2) = 0

х = 0 или х = 2

Указанному отрезку принадлежат оба значения

3) Найдём значения функции в точке х = 2 и на концах отрезка. Выберем из них наибольшее и наименьшее:

у(2) = - 2•2³ + 6•2² + 9 = -16 + 24 + 9 = 17 - наибольшее;

у(0) = - 2•0³ + 6•0² + 9 = 9 - наименьшее;

у(3) = - 2•3³ + 6•3² + 9 = -54 + 54 + 9 = 9 - наименьшее.

Ответ: 9 - наименьшее значение функции у = - 2х³ + 6х² + 9 на отрезке [0;3],

17 - наибольшее значение функции у = - 2х³ + 6х² + 9 на отрезке [0;3],