Question

не выполняя построений найдите для функции у=sin2xcos6x+cos6xsin3x наименьший положительный период функции​

Answer 1

Ответ:

Наименьший положительный период функции у=sin2xcos6x+cos6xsin3x равен  2π

Объяснение:

$y = \sin2x \cdot \cos 6x + \sin 3x \cdot \cos 6x$

С помощью формулы  данной формулы упростим нашу функцию

$\sin \alpha \cdot \cos\beta = \dfrac{1}{2} ( \sin (\alpha -\beta )+ \sin (a+\beta ))$

$\sin2x \cdot \cos 6x = \dfrac{1}{2} \Big (\sin (2x-6x)+ \sin (2x + 6x) \Big ) =\\\\ =\dfrac{1}{2} (\sin 8x - \sin 4x )$

$\sin 3x \cdot \cos 6x = \dfrac{1}{2}\Big ( \sin (3x- 6x) + \sin (3x+6x) \Big ) = \\\\ =\dfrac{1}{2} (\sin 9x - \sin 3x)$

$y =\dfrac{1}{2} (\sin 8x - \sin 4x +\sin 9x - \sin 3x )$

Число  T - период функции ,  а наименьшее положительное значение

T - основной период функции

График  функции состоит из бесконечно повторяемых фрагментов графика функции  на промежутке  [ 0 ; T] .  Если функция имеет          y =f(x) имеет наименьший положительный период T , то функция         y = f(kx+b) имеет  наименьший положительный период   $\dfrac{T}{|k|}$  

Период для функции  sinx   равен  2π

Для каждой тригонометрической функции находим по отдельности период ,  затем чтобы найти период для нашей исходной функции

находим $\rm HOK (T_1 ; T_2 )$

Находим общий период для  функций  sin8x  и sin4x :

$\rm T _1 = HOK \bigg( \dfrac{2\pi }{8} ~ ; ~ \dfrac{2\pi }{4}\bigg ) = \dfrac{\pi }{2}$

И также для функций sin 9x   и    sin 3x  находим общий период

$\rm T_2 =\rm HOK\bigg(\dfrac{2\pi }{9} ~ ; ~\dfrac{2\pi }{3} \bigg) = \dfrac{2\pi }{3}$

Находим   $\rm HOK (T_1 ; T_2 )$

$\rm HOK (T_1 ; T_2 ) = HOK \bigg(\dfrac{\pi }{2 } ~ ; ~\dfrac{2\pi }{3} \bigg ) = 2\pi$

Соответственно период  для функции у=sin2xcos6x+cos6xsin3x

равен  2π

Для перепроверки можно построить график , и убедится в том что период найден верно