Question

Найти ассимптоты функции Y=x*arctg(x) Срочно нужно !!Помогите !!

Answer 1

$lim_{x to infty} frac{xAtg(x)}{x}= lim_{x to infty} Atg(x)= frac{pi}{2} \ lim_{x to infty} xAtg(x)-frac{pi}{2}x =lim_{x to infty} x(Atg(x)-frac{pi}{2})= \ = lim_{x to infty} frac{xAtg(x)-frac{pi}{2}}{frac{1}{x}}$
Числитель и знаменатель непрерывно дифференциируемы на требуемой области, можем применить правило Лопиталя.
Из правила Лопиталя получаем: $frac{xAtg(x)-frac{pi}{2}}{frac{1}{x}}= lim_{x to infty} frac{frac{1}{1+x^2}}{-frac{1}{2x^2}}= \ = lim_{x to infty} -frac{2x^2}{1+x^2}=-2$
Первая асимптота при $x to infty$ будет $y_1=frac{pi}{2}x-2$

По тому-же принципу находим вторую асимптоту (расчёты подобны, потому их упускаю):
$lim_{x to -infty} frac{xAtg(x)}{x}=-frac{pi}{2} \ lim_{x to -infty} x(Atg(x)+ frac{pi}{2})=-2$
Вторая асимптота при $x to -infty$ будет $y_2=-frac{pi}{2}x-2$