Question

Найдите наименьшее значение выражения A = x² + 2у2 +4y + 2ху. При каких
величинах х и у оно достигается?

Answer 1

Ответ:

- 4 при х = 2 и у = - 2

Объяснение:

Если во втором слагаемом должен быть вписан квадрат, то решение следующее

A = x² + 2у² +4y + 2ху = x² + у² +4y + 2ху + у² = ( x² + 2ху + у²) + (у² + 4у + 4) - 4 = (x+у)² + (у+2)² - 4.

Так как (x+у)² ≥ 0 и (у+2)² ≥ 0 при всех значениях переменных, то наименьшим значением выражения является число 0 + 0 - 4 = - 4.

Оно достигается в том случае, если х+у = 0 и у+2 = 0 одновременно. Это возможно, если у = - 2, а х = 2.

Проверка:

2² + 2•(-2)² + 4 • (-2) + 2•2•(-2) = 4 + 8 - 8 - 8 = -4.