Question

ТЕРМІНОВО
Основою піраміди є прямокутна трапеція, менша бiчна сторона якої дорівнює 10 см. Гострий кут трапеції дорівнює 30° . Знайдіть площу повної поверхні піраміди, якщо кожний двогранний кут піраміди при ребрі основи до рівнює 45°.​

Answer 1

Ответ:150(1+  $\sqrt{2}$ )см^2

Объяснение: Сначала разберемся с основанием ABCD

Большая боковая сторона в 2 раза больше высоты, потому что угол А = 30°: BC = 20см

По условию все грани наклонены под одинаковым углом к основанию,  значит в основание можно вписать окружность.

По свойству вписанной в четырехугольник окружности

AD + BC = AB + CD = 10 + 20 = 30 см

С другой стороны CD = DK + KC, где KC находим по теореме Пифагора из ΔBCK. $KC = \sqrt{20^2-10^2} =\sqrt{300} =10\sqrt{3}$, DK = AB,

CD = AB+10$\sqrt{3\\}$, AB + AB + 10$\sqrt{3\\}$ = 30, 2AB = 30 - 10$\sqrt{3\\}$, AB = 15 - 5$\sqrt{3\\}$,

CD =  15 - 5$\sqrt{3\\}$ + 10$\sqrt{3\\}$ =   15 + 5$\sqrt{3\\}$. С основанием разобрались.

Высота пирамиды FO пересекает плоскость основания в точке О, которая является центром вписанной окружности.

FO = OI = r = 5см.

Высоты FE = FI = FG = FH находим По теореме Пифагора:

$\sqrt{5^2+5^2} =5\sqrt{2}$

Площадь основания ABCD = 0.5(AB + CD)*AD = 0.5*30*10 = 150

Площадь CFB = 0.5*FE*BC = 0.5*    $5\sqrt{2}$*20=50  $\sqrt{2}$

Площадь BFA = 0.5*FI*AB = 0.5*(15 - 5$\sqrt{3\\}$)*  $5\sqrt{2}$ = 12.5(3-$\sqrt{3}$)$\sqrt{2}$

Площадь FAD = 0.5*FG*AD =  0.5*    $5\sqrt{2}$*10 = 25  $\sqrt{2}$

Площадь FDC = 0.5*FH*CD = 0.5*    $5\sqrt{2}$*( 15 + 5$\sqrt{3\\}$) = 12.5(3+$\sqrt{3}$)$\sqrt{2}$

Площадь поверхности всей пирамиды

ABCDF = 150 + 50  $\sqrt{2}$ + 12.5(3-$\sqrt{3}$)$\sqrt{2}$+25  $\sqrt{2}$+12.5(3+$\sqrt{3}$)$\sqrt{2}$=

=150 + 75  $\sqrt{2}$ + 12.5  $\sqrt{2}$ (3-$\sqrt{3}$+3+$\sqrt{3}$) = 150+150  $\sqrt{2}$ =150(1+$\sqrt{2}$)