Question

Алгебра, уравнения. 3)​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3}{2}.$

Пошаговое объяснение:

Разберемся с левой частью:

                             $12x-4x^2-7=-(2x-3)^2+2$   $\Rightarrow$

левая часть не больше 2 и достигает этого значения при $x=\frac{3}{2}.$

Для оценки правой части можно воспользоваться неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел:

                            $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab};\ \ \ \ \ \dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\Leftrightarrow a=b.$  

В нашем случае

                              $\sqrt{\frac{2x}{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}}\ge 2\sqrt{\sqrt{\frac{2x}{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}}}=2,$

причем равенство достигается когда

        $\sqrt{\frac{2x}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}};\ \ \dfrac{2x}{3}=1;\ x=\dfrac{3}{2}.$

Поэтому левая часть равна правой части только при $x=\dfrac{3}{2}.$