Question

Помогите плиз


sin^4(5pi/24)+sin^4(7pi/24)​

Answer 1

Решение.

Применим формулу квадрат суммы и произведение синусов , а также формулу понижения степени косинуса :

$\bf (a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\ \ ,\ \ \boldsymbol{sina\cdot sin\beta =\dfrac{1}{2}\cdot (cos(a-\beta )-cos(a+\beta ))}\ ,$  $\boldsymbol{cos^2\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2}\ \ ,\ \ sin^2a+cos^2a=1\ \ ,\ \ sin(\frac{\pi}{2}-a)=cosa}$  .  

$\displaystyle \bf sin^4\frac{5\pi }{24}+sin^4\frac{7\pi}{24}=\Big(sin^2\frac{5\pi }{24}+sin^2\frac{7\pi}{24}\Big)^2-2sin^2\frac{5\pi}{24}\cdot sin^2\frac{7\pi}{24}=\\\\\\=\Big(sin^2\frac{5\pi }{24}+sin^2\Big(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{24}\Big)\Big)^2-2\Big(sin\frac{5\pi}{24}\cdot sin\frac{7\pi}{24}\Big)^2=\\\\\\=\Big(sin^2\frac{5\pi }{24}+cos^2\frac{5\pi}{24}\Big)^2-2\cdot \frac{1}{4}\cdot \Big(cos\frac{\pi}{12}-cos\frac{\pi}{2}\Big)^2=$

$\displaystyle \bf =1^2-\dfrac{1}{2}\, \Big(cos\frac{\pi}{12}-0\Big)^2=1-\frac{1}{2}\, cos^2\frac{\pi}{12}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1+cos\frac{\pi}{6}}{2}=\\\\\\=1-\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{4}=1-\frac{2+\sqrt3}{8}=\frac{6+\sqrt3}{8}$