Question

Срочно, пожалуйста помогите решить
Примеры на фото

Answer 1

$1) ~\displaystyle \int\limit \frac{ \text{arctg}~2x}{1+4x^2} \, dx$

$\star (\text{arctg} 2x ) ' =\dfrac{2}{1+(2x)^2} = \dfrac{2}{1+4x^2} ~~\star$

$\displaystyle \int\limit \frac{ \text{arctg}~2x}{1+4x^2} \, dx = \int\limits \frac{1}{2} \cdot \text{arctg}~ 2x \, \, d(\text{arctg}~2x )$

Введем замену

$t = \text{arctg } ~ 2x$

$\displaystyle \int\limit \frac{ t}{2} \, dt =\frac{t^2}{2\cdot 2} = \frac{t^4}{4} +C =\boxed{ \frac{ \text{arctg}^4(2x)}{4} +C}$

$2) ~ \displaystyle \int\limits \frac{x^2}{1+4x^3} \, dx$

$\star ~x^2\;dx = d\bigg(\dfrac{x^3}{3} \bigg) ~ \star$

$\displaystyle \int\limits \frac{x^2}{1+4x^3} \, dx=\int\limits \frac{1}{1+12\cdot \dfrac{x^3}{3} } \, d\bigg(\frac{x^3}{3} \bigg)$

Введем замену

$t = \dfrac{x^3}{3}$

$\displaystyle \int\limits \frac{1}{1+ 12t} \, dt =\frac{1}{12} \int\limits \frac{1}{1+12t} \, d(12t) = \frac{1}{12} \ln |1 + 12t|+C = \\\\\\ =\boxed{\frac{1}{12} \ln |1+4x^3| C }$

$3) ~~ \displaystyle \int\limits \frac{e^x}{1-2e^x} \, dx = \int\limits \frac{1}{1-2e^x} \, d(e^x) =\boxed{- \frac{1}{2} \ln |1 - 2 e^x|+C }$