Question

Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями:

Answer 1

Ответ:

S = 4,5 (eд)²

Пошаговое объяснение:

Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями: y = x² + 1 , x + y = 3

$y = x^2+1$

Графиком данной функции является - парабола , которая сдвинута вдоль оси Оу на 1 ед вверх. Вершина параболы в точке ( 0 ; 1 ) .

$x+y=3$

Выразим  у :

$y = 3-x\\y=-x+3$

Это линейная функция , графиком которой является - прямая . Найдем точки пересечения данных функций :

$x^2+1=-x+3\\x^2+1+x-3=0\\x^2+x-2=0\\\displaystyle \left \{ {{x_1\cdot x_2=-2} \atop {x_1+x_2=-1}} \right. \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=1}} \right.$

Пересечение графиков в точках ( -2 ; 5 ) и ( 1 ; 2 ) , пусть 3-я точка будет точкой пересечения линейной функции с осью Ох :

$-x+3=0\\-x=-3\\x=3$

Абсциссы точек пересения графиков это : -2 и 1 , значит , интегрировать будем на этом промежутке. Заметим ,  на промежутке ( -2 ; 1 ) функция y = -x + 3  больше чем y = x² + 1 , поэтому , при интегрировании из второй функции отнимем первую.

$\displaystyle \int\limits^1_{-2} {-x+3-(x^2+1)} \, dx =\int\limits {-x+3-x^2-1} \, dx = -\frac{x^{1+1}}{1+1} +2x-\frac{x^{2+1}}{2+1} =\\=-\frac{x^2}{2} +2x-\frac{x^3}{3}\Bigg|^1_{-2} =-\frac{1}{2} +2-\frac{1}{3} -\Big(-2-4+\frac{8}{3} \Big)=\frac{3}{2} -\frac{1}{3}+\frac{10}{3} =\frac{7}{6} +\frac{10}{3}=\frac{7+20}{6} =\frac{27}{6} =\frac{9}{2} =4,5(ed)^2$