Question

Вычислите , распишите пожалуйста подробней в тетради или латексе
$\sin\bigg( 2\text{arctg}\dfrac{3}{4} \bigg)=?$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{24}{25}$

Объяснение:

• Арктангенс числа - это угол α, тангенс которого равен этому числу.

• $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)$

$\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)$

По определению арктангенса:

$arctg\dfrac{3}{4}=\alpha$,    $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)$,   $tg\; \alpha =\dfrac{3}{4}$

$\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$

Зная значение тангенса угла, найдем его синус и косинус.

$tg\; \alpha =\dfrac{3}{4}$

$tg^2\alpha +1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$

$\cos^2\alpha=\dfrac{1}{tg^2\alpha +1}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+1}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}+1}=\dfrac{16}{25}$

Так как $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)$ , то $\cos\alpha > 0$.

$\boldsymbol{\cos\alpha =\dfrac{4}{5}}$

$\sin\alpha=tg\alpha\cdot \cos\alpha$

$\boldsymbol{\sin\alpha}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{5}\boldsymbol{=\dfrac{3}{5}}$

Итак, получаем:

$\boldsymbol{\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\boldsymbol{=\dfrac{24}{25}}$