Question

Завдання з вищої математики

Answer 1

Ответ:

Масса дуги равна $\boldsymbol{ \dfrac{128}{15}}$ условных единиц.

Примечание:

Кривая $L$ заданная в виде $x = \phi(y)$, где $y \in [c;d]$, то криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле:

$\boxed{\int\limits_{L} {f(x,y)} \, dl = \int\limits^d_c {f(\phi(y),y)\sqrt{1 + [\phi'(y)]^{2}} } \, dy }$

При раскрытии корней в интеграл не ставим модули так как все значения больше нуля

Пошаговое объяснение:

$L : x = \ln y$ - уравнение дуги

$\gamma (x,y) = y^{3}\sqrt{1 + y^{2}}$ - линейная плотность

$(1 \leq y \leq 2)$

Масса дуги определяется по формуле с помощью криволинейного интеграла первого рода:

$\boldsymbol{\boxed{m= \int \limits_{L} {\gamma(x,y)} \, dL }}$

$\displaystyle m= \int\limits^{2}_{1} {y^{3}\sqrt{1 + y^{2}}\sqrt{1 + [(\ln y)']^{2}} } \, dy = \int\limits^{2}_{1} {y^{3}\sqrt{1 + y^{2}}\sqrt{1 + \frac{1}{y^{2}} } } \, dy =$

$\displaystyle = \int\limits^{2}_{1} {y^{3}\sqrt{1 + y^{2}}\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y^{2}} } } \, dy = \int\limits^{2}_{1} {\frac{y^{3}}{y} \sqrt{(1 + y^{2})^{2}} } \, dy = \int\limits^{2}_{1} {y^{2} (1 + y^{2}) } \, dy =$

$\displaystyle = \int\limits^{2}_{1} { (y^{2} + y^{4}) } \, dy = \int\limits^{2}_{1} {y^{2}} \, dy + \int\limits^{2}_{1} {y^{4}} \, dy = \frac{y^{3}}{3} \bigg |_{1}^{2} + \frac{y^{5}}{5} \bigg |_{1}^{2} = \frac{1}{3} \cdot y^{3}\bigg |_{1}^{2} + \frac{1}{5} \cdot y^{5} \bigg |_{1}^{2} =$

$\displaystyle = \frac{1}{3} \bigg(2^{3} - 1^{3} \bigg) + \frac{1}{5} \bigg(2^{5} - 1^{5} \bigg) = \frac{1}{3} \bigg(8 - 1 \bigg) + \frac{1}{5} \bigg(32 - 1 \bigg) = \frac{7}{3} + \frac{31}{5} =$

$\displaystyle = \frac{7}{3} + \frac{31}{5} = \dfrac{7 \cdot 5 + 31\cdot 3}{15} = \dfrac{35 + 93}{15} = \frac{128}{15}$