Question

срочно
вычислите объем тела, образованного при вращении оси Оу фигуры, ограниченной линиями у=2х+5, х=0, у=1, у=3
​

Answer 1

Ответ:

Объем тела вращения равен $\boldsymbol{ \dfrac{14\pi }{3}}$ кубических единиц

Пошаговое объяснение:

Объем тела вращения вокруг оси OY ограниченная кривой $x = \phi(y)$ и прямыми x = 0, x = c, x = d (d > c).

$\boxed{V = \pi \int\limits^d_c {\phi^{2}(y)} \, dy }$

Тогда согласно условию фигура ограниченна прямыми:

$y = 2x + 5 \Longrightarrow x = \dfrac{y - 5}{2}$

$x = 0$

$y = 1$

$y = 3$

Тогда по формуле объем вращения равен:

$\displaystyle V = \pi \int\limits^{3}_{1} {\bigg( \dfrac{y - 5}{2} \bigg)^{2}} \, dy = \frac{\pi }{4} \int\limits^{3}_{1} {(y - 5)^{2}} \, dy = \frac{\pi }{4} \int\limits^{3}_{1} {(y - 5)^{2}} \, d(y - 5) =$

$\displaystyle = \frac{\pi }{4} \cdot \frac{(y - 5)^{3}}{3} = \frac{\pi}{12} \bigg((3 - 5)^{3} -(1 - 5)^{3}\bigg) = \frac{\pi}{12} \bigg(4^{3} - 2^{3} \bigg) = \frac{\pi}{12} \bigg(64 - 8 \bigg)=$

$= \dfrac{56\pi }{12} = \dfrac{14\pi }{3}$ кубических единиц.