В трикутнику КМР, к(4; 0), М(2;4) і P(-2; 2).
Знайдіть сторони трикутника івстановіть його вид.
Складіть рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.
Складіть рівняння прямої МО, якій належить медіана трикутника.
Ответы
В трикутнику КМР, K(4; 0), М(2;4) і P(-2; 2).
1) Знайдіть сторони трикутника і встановіть його вид.
2) Складіть рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.
3) Складіть рівняння прямої МО, якій належить медіана трикутника.
Квадрат
KM = √((Хm-Хk)²+(Уm-Уk)²) = 4,472135955 20
MP = √((Хp-Хm)²+(Уp-Уm)²) = 4,472135955 20
KP = √((Хp-Хk)²+(Уp-Уk)²) = 6,32455532 40
Треугольник равнобедренный.
Находим векторы.
KM = М(2;4) - K(4; 0) = (-2; 4). Перпендикулярный вектор Р1О(4; 2).
MP= P(-2;2) - M(2; 4) = (-4; -2). Перпендикулярный вектор К1О(2;-4).
KP = P(-2;2) - K(4; 0) = (-6; 2). Перпендикулярный вектор М1О(2; 6).
Так как векторы Р1О(4; 2) и К1О(2;-4) взаимно перпендикулярны, то стороны KM и MP тоже перпендикулярны.
Значит, треугольник равнобедренный и прямоугольный.
Поэтому точка О совпадает с точкой М.
Координаты середин сторон.
Р1 (КМ/2) = (М(2; 4) + K(4; 0))/2 = (3; 2).
К1 (РМ/2) = (P(-2; 2) + M(2; 4))/2 = (0; 3).
М1 (КР/2) = (P(-2; 2) + K(4; 0))/2 = (1; 1).
Уравнения серединных перпендикуляров.
Р1O:(x - 3)/4 = (y – 2)/2 или в общем виде 2x – 6 - 4y + 8 = 0.
Получаем х - 2у + 1 = 0.
K1O:(x – 0)/2 = (y – 3)/(-4) или в общем виде -4x - 2y + 6 = 0.
Получаем 2х + у - 3 = 0.
Находим их точку пересечения – это центр описанной окружности.
x – 2y + 1 = 0, x – 2y + 1 = 0.
2x + у - 3 = 0 (x2) = 4x + 2у - 6 = 0.
5x - 5 = 0, отсюда х = 5/5 = 1,
у = 3 – 2х = 3 – 2*1 = 1.
Центр описанной окружности О(1; 1). Этот расчёт можно было не делать, так как центр описанной окружности для прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.
Находим радиус:
R = √(xO-xM)² + (yO-yM)²) = √(1 - 2)² + (1-4)²) = √(1+9) = √10.
Теперь, зная центр описанной окружности и её радиус, составляем уравнение.
(x – 1)² + (y – 1)² = 10.
3) Точки М(2;4) и О(1; 1).
Вектор ОМ = (2-1; 4-1) = (1; 3).
Уравнение ОМ: (x – 1)/1 = (y – 1)/3 каноническое,
Или 3х – 3 = у – 1,
Уравнение общего вида 3х – у – 2 = 0.
