Question

7. ** В квадрат со стороной 1 впи- сана окружность. Найдите длину от- резка, обозначенного на рисунке бук- вой х. (» рис.)​

Answer 1

Ответ:

Длина отрезка, обозначенного на рисунке буквой х равна  $\displaystyle \frac{3\sqrt{10} }{10}$.

Объяснение:

7. ** В квадрат со стороной 1 вписана окружность. Найдите длину отрезка, обозначенного на рисунке буквой х.

Дано: ABCD - квадрат;

Окр.О - вписана в квадрат;

АВ = 1.

Найти: х.

Решение:

1. Рассмотрим ΔЕВС - прямоугольный.

$\displaystyle BC = 1; \;EB = \frac{1}{2}$

По теореме Пифагора:

$\displaystyle EC^2 = BC^2+EB^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\\ \\ \displaystyle\bf EC=\frac{\sqrt{5} }{2}$

2. Найдем КС.

• Если из одной точки проведены касательная и секущая к окружности, то квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.

⇒ СМ² = ЕС · КС

.$\displaystyle \frac{1}{4} =\frac{\sqrt{5} }{2}\cdot{KC}\\ \\\displaystyle\bf KC=\frac{2}{4\sqrt{5} } =\frac{\sqrt{5} }{10}$

3. Найдем ∠НКС.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОЕ ⊥ АВ; ОН ⊥ AD.

∠ЕОН = 90°  - центральный.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒   ◡ЕН = 90°

∠ЕКН - вписанный, опирается на ◡ЕН.

• Вписанный угол равен половине градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠ЕКН = 45°

• Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠НКС = 180° - 45° = 135°

4. Рассмотрим ΔЕКС.

$\displaystyle KC = \frac{\sqrt{5} }{10};\;\;\;\;\;HC=EC=\frac{\sqrt{5} }{2};\;\;\;\;\;cos\;135^0=-\frac{\sqrt{2} }{2}$

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$\displaystyle HC^2=x^2+KC^2-2x\cdot{KC}\cdot{cos\;135^0}\\\\\frac{5}{4}=x^2+\frac{5}{100}+2x\cdot\frac{\sqrt{5} }{10}\cdot\frac{\sqrt{2} }{2}\\ \\ x^2+\frac{\sqrt{10} }{10}x+\frac{1}{20}-\frac{25}{20}=0\\ \\ x^2+\frac{\sqrt{10} }{10}x-\frac{6}{5}=0 \;\;\;\;\;|\cdot10\\\\10x^2+\sqrt{10}x-12=0$

$\displaystyle D=10+480=490;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=7\sqrt{10} \\\\x_1=\frac{-\sqrt{10}+7\sqrt{10} }{20}=\frac{3\sqrt{10} }{10} \\\\x_2=\frac{-\sqrt{10}-7\sqrt{10} }{20}=\frac{-4\sqrt{10} }{10}$

x₂ не подходит по условию задачи.

Длина отрезка, обозначенного на рисунке буквой х равна  $\displaystyle \frac{3\sqrt{10} }{10}$.