Question

для функції f(x)=x(x^2-3) знайти первісну графік якої проходить через точку M(0;2)
ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!

Answer 1

Ответ:

График первообразной задает уравнение:

$\boldsymbol {\boxed{F(x) = \dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{3x^{2} }{2} + 2}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Пошаговое объяснение:

$f(x) = x(x^{2} - 3) = x^{3} - 3x$

$M(0;2)$ - точка через, которую проходит график первообразной.

По определению первообразной:

$\boxed{f(x) = F'(x)}$, где $F(x) \ -$ первообразная, тогда:

$\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx = \int {(x^{3} - 3x)} \, dx = \int {x^{3}} \, dx - \int {3x} \, dx=$

$\displaystyle = \frac{x^{4}}{4} + C_{1}- 3\int {x} \, dx=\frac{x^{4}}{4} + C_{1} - \dfrac{3x^{2} }{2} + C_{2} = \frac{x^{4}}{4} - \dfrac{3x^{2} }{2} + C$

Так как график первообразной проходит через точку M(0;2) по условию, то:

$F(0) = 2$

$\dfrac{0^{4}}{4} - \dfrac{3 \cdot 0^{2} }{2} + C = 2 \Longrightarrow \boxed{C = 2}$

График первообразной задает уравнение:

$\boldsymbol {\boxed{F(x) = \dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{3x^{2} }{2} + 2}}$