Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 8см а кут між ними дорівнює 60 градусів. Знайдіть довжини діагоналей паралелограма
Ответы
Ответ:
BD = 7 cм. АС = √97 см.
Объяснение:
Дано: параллелограмм ABCD. AB = 3 см, AD= 8 см. ∠BAD = 60°.
Найти АС и ВD.
Решение.
В треугольнике АВD по теореме косинусов:
BD² = AB²+AD² - 2·AB·AD·Cos(∠BAD). ∠BAD =60° (дано).
Cos60 = 1/2. Тогда
BD² = 3²+8² - 2·3·8·1/2 = 49. => BD = √49 = 7 см.
В параллелограмме противоположные стороны равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°:
ВС = AD = 8 см. ∠АВС = 180° - 60° =120°. Cos120= - Cos60.
Тогда по теореме косинусов в треугольнике АВС:
АС² = AB²+ВС² - 2·AB·ВС·Cos(∠АВС). ∠АВС =120°.
Соs120 = -Cos60 = - 1/2. Тогда
AC² = 9+64 - 2·3·8·(-1/2) = 97. => AC = √97 см.
Можно решить без теоремы косинусов.
Опустим высоту ВЕ. Тогда в прямоугольном треугольнике АВЕ против ∠АВЕ =30° (по сумме острых углов) лежит катет АЕ = АВ/2 = 3/2 = 1,5.
По Пифагору ВЕ = √(АВ²-АВ²) = √(9-2,25) = √6,75.
ED = AD - AE = 6,5. По Пифагору в треугольнике BED:
BD = √(BE²+ED²) = √(6,75+6,5²) = √49 = 7 cм.
Опустим высоту СЕ1 = ВЕ на продолжение стороны AD: DE1 = AE = 1,5 (треугольники АВЕ и DCE1 равны по двум углам и стороне), тогда По Пифагору в треугольнике CDE1:
АС = √(АE1²+СE1²) = √(9,5²+6,75) = √97 cм.
