Question

Найдите значения выражений:
$\large 3) \arccos( \cos6) \\ \large4) \arccos( \cos20)$
Объясните , почему ответ не 6 или 20? Допустим , когда arccos(cos1,1) = 1,1 , а в 3) и 4) почему не так?
​

Answer 1

Область значений функции $y=\arccos x$:

$E(y)=[0;\ \pi]$

Поэтому равенство $\arccos(\cos t)=t$ выполняется при $t\in[0;\ \pi]$.

Равенство $\arccos(\cos 1.1)=1.1$ выполняется, так как $1.1\in[0;\ \pi]$.

3) Обозначим искомую величину:

$t=\arccos(\cos 6)$

Найдем косинус левой и правой части:

$\cos t=\cos(\arccos(\cos 6))$

$\cos t=\cos 6$

Косинусы двух аргументов равны, когда эти аргументы равны или противоположны с точностью до $2\pi$. Получим:

$\left[\begin{array}{l} t=6+2\pi k \\ t=-6+2\pi k\end{array}\right.$

Как было сказано выше, $t\in[0;\ \pi]$. Поэтому, нужно определить при каком $k$ выполняется одно из двух условий.

Рассмотрим первое неравенство:

$0\leqslant 6+2\pi k \leqslant\pi$

$-6\leqslant 2\pi k \leqslant\pi-6$

$-\dfrac{6}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{\pi-6}{2\pi}$

$-\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{\pi}$

Из оценки:

$-1 < -\dfrac{3}{3.14} < -\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{\pi} < \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{3.15} < 0$

понятно, что целых чисел, удовлетворяющих первому неравенству,

нет.

Рассмотрим второе неравенство:

$0\leqslant -6+2\pi k \leqslant\pi$

$6\leqslant 2\pi k \leqslant6+\pi$

$\dfrac{6}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{6+\pi}{2\pi}$

$\dfrac{3}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{3}{\pi}+\dfrac{1}{2}$

Так как $0 < \dfrac{3}{\pi} < 1$ и $1 < \dfrac{3}{\pi}+\dfrac{1}{2} < 2$, то единственное целое число, удовлетворяющее неравенству: $k=1$.

То есть:

$t=-6+2\pi\cdot1=2\pi-6$

Или:

$\boxed{\arccos(\cos 6)=2\pi -6}$

4) Рассуждаем по аналогии:

$t=\arccos(\cos 20)$

$\cos t=\cos 20$

Возможны две ситуации:

$\left[\begin{array}{l} t=20+2\pi k \\ t=-20+2\pi k\end{array}\right.$

Первое неравенство:

$0\leqslant 20+2\pi k \leqslant\pi$

$-20\leqslant 2\pi k \leqslant\pi-20$

$-\dfrac{20}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{\pi-20}{2\pi}$

$-\dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{1}{2} -\dfrac{10}{\pi}$

Так как $3 < \pi < \dfrac{10}{3}$, то $3 < \dfrac{10}{\pi} < \dfrac{10}{3}$. Тогда:

$-\dfrac{10}{3} < -\dfrac{10}{\pi} < -3;\ -3 < \dfrac{1}{2}-\dfrac{10}{3} < \dfrac{1}{2} -\dfrac{10}{\pi} < \dfrac{1}{2}-3 < -2$

Целое значение, удовлетворяющее неравенству:

$k=-3$

Тогда:

$t=20+2\pi\cdot(-3)=20-6\pi$

Или:

$\boxed{\arccos(\cos 20)=20-6\pi }$

Второе неравенство дать решений не должно:

$0\leqslant -20+2\pi k \leqslant\pi$

$20\leqslant 2\pi k \leqslant20+\pi$

$\dfrac{20}{2\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{20+\pi}{2\pi}$

$\dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{1}{2}$

Используя ранее полученную оценку:

$3 < \dfrac{10}{\pi} \leqslant k \leqslant\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{1}{2} < \dfrac{10}{3} +\dfrac{1}{2} < 4$

Действительно, второе неравенство не дает целых решений.

Ответ: arccos(cos6)=2п-6

arccos(cos20)=20-6п