Question

Ребро правильного тетраедра SABC дорівнює 6. Знайдіть площу перерізу тетраедра площиною, яка проходить через центр грані АВС паралельно грані ABS.

Answer 1

Ответ:

4√3 см²

Объяснение:

В правильном тетраэдре все ребра равны.

АВС - правильный треугольник.

Центр грани АВС - точка пересечения медиан треугольника АВС, точка О.

В плоскости АВС через точку О проводим прямую, параллельную АВ.

Она пересечет ребра АС и ВС в точках К и М соответственно.

В плоскости ACS проводим прямую, параллельную AS. Она пересечет ребро SC в точке N.

Соединяем точки N и М.

Признак параллельности плоскостей:

• если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Так как КМ║АВ и KN║AS, то KMN║ABS.

KMN - искомое сечение.

• Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Поэтому ΔCKM ~ ΔCAB.

По свойству медиан:

$\dfrac{CO}{OH}=\dfrac{2}{1}$     ⇒     $\dfrac{CO}{CH}=\dfrac{2}{3}$

Так как СО и СН - медианы, проведенные к сходственным сторонам, то

$\boldsymbol{\dfrac{KM}{AB}}=\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CO}{CH}\boldsymbol{=\dfrac{2}{3}}$

Аналогично, ΔCKN ~ ΔCAS (КN║AS),

$\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{CK}{CA}=\boldsymbol{\dfrac{KN}{AS}=\dfrac{2}{3}}$

Тогда ΔCMN ~ ΔCBS по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними:

• $\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{2}{3}$,
• ∠C - общий.

Тогда $\boldsymbol{\dfrac{MN}{SB}=\dfrac{2}{3}}$

Доказали, что

$\dfrac{KM}{AB}=\dfrac{KN}{AS}=\dfrac{MN}{SB}=\dfrac{2}{3}$,

значит ΔKMN ~ ΔABS по трем пропорциональным сторонам.

$KM = KN = MN = \dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}\cdot 6=4$ см

По формуле площади правильного треугольника:

$\boldsymbol{S_{KMN}}=\dfrac{KM^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}\boldsymbol{=4\sqrt{3}}$  см²