Question

Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-5; -2), В(-3; 2), C(3; -1), D(1; -5) - прямокутник. Знайдіть його периметр, площу та радіус описаного кола.

Answer 1

Ответ:

P=22,4

S=30.2

R=4

Объяснение:

Если 1) АВ=СД и 2) АВ⊥ВС, то АВСД  - прямоугольник

1) Найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay} = {-3 - (-5); 2 - (-2)} = {2; 4}

Найдем длину (модуль) вектора:

|AB| = √(ABx² + ABy²) = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2·√5 ≈ 4.5

Найдем вектор по координатам точек:

СД = {Дx - Сx; Дy - Сy} = {1 - 3; -5 - (-1)} = {-2; -4}

Найдем длину (модуль) вектора:

|СД| = √(СДx² + СДy²) =√( (-2)² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20 = 2·√5 ≈ 4.5 ⇒ АВ=СД

2) Найдем вектор по координатам точек:

ВС = {Сx - Вx; Сy - Вy} = {3 - (-3); -1 - 2} = {6; -3}

Найдем скалярное произведение векторов:

АВ · ВС = АВx · ВСx + АВy · ВСy = 2 · 6 + 4 · (-3) = 12 - 12 = 0

Найдем длину (модуль) вектора:

|ВС| = ВСx2 + ВСy2 = 62 + (-3)2 = 36 + 9 = 45 = 3·√5 ≈6,7

Найдем угол между векторами:

cos α =   АВ · ВС /(|АВ|·|ВС|)

cos α =   0 /2·√5 · 3·√5  = 0

α = 90° ⇒ АВ⊥ВС

Р=2(АВ + ВС)=2(4,5+6,7)=22,4

S=АВ * ВС=4,5*6,7=30.2

R=AC/2=√(AB²+BC²)/2=√(4.5²+6.7²)/2=4