Question

Помогите пожалуйста решить задачу, ​

Answer 1

Ответ:

Задан степенной ряд   $\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\ \dfrac{n+1}{3^{n}\, (n+2)}\cdot x^{n}$  .

Применяем признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда :

$\bf \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{(n+2)\cdot |x|^{n+1}}{3^{n+1}\, (n+3)}:\dfrac{(n+1)\cdot |x|^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{(n+2)\cdot |x|^{n+1}}{3^{n+1}\, (n+3)}\cdot \dfrac{3^{n}\, (n+2)}{(n+1)\cdot |x|^{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{|x|}{3}=\dfrac{|x|}{3} < 1\ \ \Rightarrow \\\\\\|x| < 3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -3 < x < 3$  

Проверяем сходимость ряда в граничных точках .

$\bf x=3\ ,\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(n+1)\cdot 3^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{n+1}{n+2}$  

Этот ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак

сходимости :  $\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{n+1}{n+2}=1\ne 0$   .

$\bf x=-3\ ,\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(n+1)\cdot (-3)^{n}}{3^{n}\, (n+2)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}\, (n+1)}{n+2}$  

Это тоже расходящийся знакочередующийся ряд, не выполняется

первое условие признака Лейбница :   $\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{n+1}{n+2}=1\ne 0$  .

Область сходимости заданного ряда:   $\bf x\in (-3\ ;\ 3\ )\ .$  

Answer 2

Объяснение:

надеюсь помогла, ответ уверена что правильный.