Question

Помогите пожалуйста решить задачу, ряд ​

Answer 1

Ответ:

Знакочередующийся ряд:  $\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n-1}}{n\cdot ln^2n}$  .

Cоставим ряд из абсолютных величин:   $\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, \dfrac{1}{n\cdot ln^2n}$  .

Применим интегральный признак сходимости:

1)  функция   $f(x)=\dfrac{1}{x\, ln^2x}$  , непрерывна на обл. определения при  $x\geq 2$ , и монотонно убывающая, так как при увеличении знаменателя сама дробь уменьшается .

2) несобственный интеграл :

$\displaystyle \int\limits^{+\infty }_{2}\, \frac{dx}{x\cdot ln^2x}=\lim_{A \to \infty} \int\limits^{A}_{2}\, \frac{dx}{x\cdot ln^2x}=\lim_{A \to \infty} \int\limits^{A}_{2}\, \frac{d(lnx)}{ln^2x}=\lim_{A \to \infty}\Big(\frac{-1}{lnx}\Big)\Big|_2^{A}=\\\\\\=\lim_{A \to \infty}\Big(-\frac{1}{lnA}+\frac{1}{ln2}\, \Big)=-0+\frac{1}{ln2}=\frac{1}{ln2}=const$  

Получили число, поэтому несобственный интеграл сходится .

А значит сходится ряд , составленный из абсолютных величин, а значит и знакочередующийся ряд , причём абсолютно . На условную сходимость (признак Лейбница) уже проверять не надо .