Question

найдите наибольший отрицательный корень уравнения 6sin^2x-4sinx*cosx=1

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Рассмотрим уравнение:

$6\sin^2x-4\sin x\cos x=1$

$6\sin^2x-4\sin x\cos x=\sin^2x+\cos^2x$

$6\sin^2x-4\sin x\cos x-\sin^2x-\cos^2x=0$

$5\sin^2x-4\sin x\cos x-\cos^2x=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$:

$5\,\mathrm{tg}^2x-4\,\mathrm{tg}x-1=0$

Получилось квадратное уравнение относительно тангенса. Так как сумма его коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй корень - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\mathrm{tg}x=-\dfrac{1}{5} \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\left(-\dfrac{1}{5}\right) +\pi n=-\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{5}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним отбор корней на числовой окружности (картинка).

Наибольший отрицательный корень:

$x=-\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{5}$

Ответ: -arctg(1/5)