Question

Решите с подробным объяснением!​

Answer 1

10.1

$5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}$

Докажем утверждение методом математической индукции.

I) Проверим справедливость утверждения при $n=1$:

$5^{5\cdot1+1}+4^{5\cdot1+2}+3^{5\cdot1}=5^6+4^7+3^5=15\ 625+16\ 384+243=32\ 252\ \vdots\ 11$

Верно.

II) Предположим, что при $n=k$ утверждение верно, то есть:

$\left(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}\right)\ \vdots\ 11$

III) Докажем, что и при $n=k+1$ утверждение будет верно:

$5^{5(k+1)+1}+4^{5(k+1)+2}+3^{5(k+1)}=5^{5k+5+1}+4^{5k+5+2}+3^{5k+5}=$

$=5^5\cdot 5^{5k+1}+4^5\cdot 4^{5k+2}+3^5\cdot3^{5k}=$

$=(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})+(5^5-1)\cdot 5^{5k+1}+(4^5-1)\cdot 4^{5k+2}+(3^5-1)\cdot3^{5k}$

Первое слагаемое делится на 11 по предположению, сделанному в предыдущем пункте.

Найдем следующие значения:

$5^5-1=(5-1)\cdot(5^4+5^3+5^2+5+1)=4\cdot781\ \vdots\ 11$

$4^5-1=(4-1)\cdot(4^4+4^3+4^2+4+1)=3\cdot341\ \vdots\ 11$

$3^5-1=(3-1)\cdot(3^4+3^3+3^2+3+1)=2\cdot121\ \vdots\ 11$

Таким образом, каждое из трех оставшихся слагаемых содержит множитель, который делится на 11. Значит, все слагаемые делятся на 11, тогда и сумма делится на 11.

$\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})}}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(5^5-1)}}\cdot 5^{5k+1}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(4^5-1)}}\cdot 4^{5k+2}+\underset{\vdots\ 11}{\underbrace{(3^5-1)}}\cdot3^{5k}$

Доказано.

10.2

Рассмотрим заданное соотношение:

$\dfrac{1}{b} +\dfrac{b+1}{2} =3.5$

$\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{2} =3.5$

$\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}+0.5 =3.5$

$\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2} =3$

Возведем обе части выражения в квадрат:

$\left(\dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{2}\right) ^2=3^2$

$\left(\dfrac{1}{b} \right)^2+2\cdot\dfrac{1}{b}\cdot \dfrac{b}{2} +\left(\dfrac{b}{2}\right) ^2=9$

$\dfrac{1}{b^2} +1 +\dfrac{b^2}{4}=9$

$\dfrac{1}{b^2} +\dfrac{b^2}{4}=9-1$

$\dfrac{4+b^4}{4b^2} =8$

$\dfrac{4b^2}{4+b^4} =\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{b^2}{b^4+4} =\dfrac{1}{32}$

Ответ: 1/32