Question

Найдите ОДЗ уравнения ,решите с подробным объяснением и проверкой корней:
$\displaystyle \boldsymbol{ arcsin(3x ^{2} - 10x + 2.5) = - \frac{\pi}{6} }$
​

Answer 1

Ответ:

$arcsin(3x^2-10x+2,5)=-\dfrac{\pi }{6}\\\\ODZ:\ -1\leq 3x^2-10x+2,5\leq 1\ \ \Rightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}3x^2-10x+2,5\leq 1\\3x^2-10x+2,5\geq -1\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}3x^2-10x+1,5\leq 0\\3x^2-10x+3,5\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in \Big[\ \dfrac{10-\sqrt{82}}{6}\ ;\ \dfrac{10+\sqrt{82}}{6}\ \Big]\\x\in \Big(-\infty ;\ \dfrac{10-\sqrt{58}}{6}\ \Big]\cup \Big[\ \dfrac{10+\sqrt{58}}{6}\ \Big) \end{array}\right\\\\\\x\in \Big[\ \dfrac{10-\sqrt{82}}{6}\ ;\ \dfrac{10-\sqrt{58}}{6}\ \Big]\cup \Big[\ \dfrac{10+\sqrt{58}}{6}\ ;\ \dfrac{10+\sqrt{82}}{6}\ \Big]$

Если написать ОДЗ с использованием  приближённых значений корней кв. уравнений, то это выглядит так:  

$x\in [\ 0,16\ ;\ 0,40\ ]\cup [\ 2,94\ ;\ 3,18\ ]$  .

$sin\Big(arcsin(3x^2-10x+2,5)\Big)=sin\Big(-\dfrac{\pi }{6}\Big)\\\\3x^2-10x+2,5=-\dfrac{1}{2}\\\\3x^2-10x+2,5+0,5=0\\\\3x^2-10x+3=0\\\\D/4=(b/2)^2-ac=5^2-3\cdot 3=16\ ,\ \ x_{1,2}=\dfrac{-b/2\pm \sqrt{D/4}}{a}\ ,\\\\x_1=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}\ \,\ \ x_2=\dfrac{5+4}{3}=3$    

Найденные значения корней принадлежат ОДЗ.

Ответ:  х=1/3 или х=3 .