Ответы
Ответ:
а) ребро пирамиды=3√5 см
б) площадь полной поверхности пирамиды
108 см²
Объяснение:
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°.
а) найдите боковое ребро пирамиды
б) найдите площадь полной поверхности пирамиды
РЕШЕНИЕ:
обозначим вершины пирамиды А В С Д Р. В основании правильной четырёхугольной пирамиде лежит квадрат, поэтому АВ=ВС=СД=АД=6 см, а также боковые рёбра тоже равны: РA=РB=РC=РД.
Проведём две апофемы (высоты боковых граней пирамиды) РK и РE. Так как ребра пирамиды равны, то грани пирамиды являются равными равнобедренным треугольниками, а высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию является ещё медианой, которая делит сторону основания пополам, поэтому ДК=КС=6÷2=3(см)
Обозначим углы боковых граней с основанием РKE и РEK.
а) Соединим точки Е и К. ЕК || ВС || АД → ЕК=ВС=АД=6см. Рассмотрим ∆РEK. Он равнобедренный, так как пирамида правильная, тогда РE=РK. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда
∠EРK=180–∠РEK–∠РKE=180–60–60=60° → ∆РEK – равносторонний, значит РE=РK=EK=6см.
Рассмотрим ∆ДРK – он прямоугольный, где ребро пирамиды РД является гипотенузой, а РК и ДК – катеты. Найдём РД по теореме Пифагора:
РД²=РK²+ДК²=6²+3²=36+9=45
РД=√45=3√5 (см)
ОТВЕТ: ребро пирамиды=3√5 см
б) полная площадь поверхности пирамиды (Sпол) равна сумме площадей всех её граней:
Sпол=Sосн+Sгр•4( так как все 4 боковые грани равны).
Sосн=СД²=6²=36 (см²)
Sгр=1/2•СД•PK=1/2•6•6=18 (см²)
Площадь 4-х граней: Sгр•4=18•4=72 (см²)
Sпол=36+72=108 (см²)
ОТВЕТ: Sпол=108 см²
