Question

2. а) Найдите первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени z и запишите коэффициент при 2: 1) (4 + z)⁶ 2) (2-z)⁶ b) Используя результаты предыдущих действий, найдите коэффициент при Z в биномиальном разложении [(4+z)(2-z)]⁶​

Answer 1

Ответ:

Бином Ньютона:  

$\bf (a+b)^{n}=C_{n}^0a^{n}+C^1_na^{n-1}b+C_{n}^2a^{n-2}b^2+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\ ,\\\\C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\ (n-k)!}$  

2.а)

$(z+4)^6=\\\\=C_6^0\, z^6+C_{6}^1\, z^5\cdot 4+C_{6}^2\, z^4\cdot 4^2+C_6^3\, z^3\cdot 4^3+C_6^4\, z^2\cdot 4^4+C_6^5\, z\cdot 4^5+C_6^6\cdot 4^6=\\\\=1\cdot z^6+6\cdot z^5\cdot 4+15\cdot z^4\cdot 16+20\cdot z^3\cdot 64+15\cdot z^2\cdot 256+6\cdot z\cdot 1024+1\cdot 4096=\\\\=z^6+24\, z^5+240\, z^4+1280\, z^3+3840\, z^2+6144\, z+4096$

Запишем первые три слагаемых при возрастании степени  z :

$\bf (z+4)^6=4096+6144\, z+3840\, z^2+...$  

$b)\ \ (2-z)^6=1\cdot 2^6+6\cdot 2^5\cdot (-z)+15\cdot 2^4\cdot (-z)^2+20\cdot 2^3\cdot (-z)^3+15\cdot 2^2\cdot (-z)^4+\\\\+6\cdot 2\cdot (-z)^5+1\cdot (-z)^6=\bf 64-192\, z+240\, z^2-160\, z^3+60\, z^4-12\, z^5+z^6$

c) Коэффициент при  z  в биномиальном разложении  

$(4+z)^6(2-z)^6=...\ +6144z\cdot64+4096\cdot (-192z)+\ ...=\\\\=...\ +393216\, z-786432\, z+\ ...=\bf ...\ -393216\, z+\ ...$  

будет равен  -393216  .