Question

Логарифмічні рівняння.Будь-ласка с ОДЗ!!​

Answer 1

Ответ:

Корнем уравнения log₉(4-3x) = 0,5 является число х=1/3.

Корнем уравнения log₃(x²-3x-5) = log₃(7-2x) является число х=(-3).

Пошаговое объяснение:

а) log₉(4-3x) = 0,5

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

ОДЗ: 4-3x>0 ⇒ -3x>-4 ⇒ x<1,25

Допишем в правой части уравнения log₉9 (=1) и представим 0,5 в виде степени аргумента этого логарифма (по формуле logₐbˣ=xlogₐb).

log₉(4-3x) = 0,5log₉9

log₉(4-3x) = log₉9⁰'⁵

Справа и слева логарифмы с основанием 9, значит мы можем приравнять их аргументы. Используем свойство х⁰'⁵ = √х.

4-3х = 9⁰'⁵

-3х = √9 - 4

х = -1 : (-3)

х = 1/3 ∈ ОДЗ ✓

Корнем уравнения log₉(4-3x) = 0,5 является число х=1/3.

б) log₃(x²-3x-5) = log₃(7-2x)

Опять же, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В этом уравнении намного проще сделать проверку вместо ОДЗ, но, так как по условию нужно ОДЗ, мы находим его.

$\displaystyle ODZ: \left \{ {{x^2-3x-5 > 0} \atop {7-2x > 0 \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Решим отдельно первое и второе неравенства.

$\displaystyle x^2-3x-5 > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7-2x > 0 \\\\ x^2-3x-5=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x > -7 \ \big| \div (-3) \\\\ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)=9+20=29 \ \ \ \ \ \ \ \ x < \frac{7}{2} \ \ \ \ \boxed{x\in \Big (-\infty; \frac{7}{2}\Big) } \\ x_1= \frac{3+\sqrt{29} }{2}; \ \ x_2= \frac{3-\sqrt{29} }{2} \\ \boxed\Big(x-\frac{3-\sqrt{29} }{2}\Big)\Big(x-\frac{3+\sqrt{29} }{2}\Big) > 0$

$\displaystyle \setlength{\unitlength}{25mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.3mm} \put(0.7,-0.002){\circle{0.05}} \put(2.3,0){\circle{0.05}} \put(0.1,0,09) { +++ }\put(1.35,0,09) { - - - }\put(2.45,0,09) { + + + } \put(0,0){\line (1,0){3}} \end{picture} \\\\ \/ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \!\frac{3-\sqrt{29} }{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3+\sqrt{29} }{2}$

$\boxed{x\in \Big (-\infty; \frac{3-\sqrt{29} }{2}\Big) \cup\Big( \frac{3+\sqrt{29} }{2}; +\infty\Big)}$

Находим пресечение двух промежутков.  

$\displaystyle \left \{ {{{x\in \Big (-\infty; \frac{3-\sqrt{29} }{2}\Big) \cup\Big( \frac{3+\sqrt{29} }{2}; +\infty\Big) } \atop {x\in\Big(-\infty; \frac{7}{2}\Big)\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\displaystyle \setlength{\unitlength}{30mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.3mm} \put(0.7,-0.002){\circle{0.05}} \put(2.3,0){\circle{0.05}} \put(0,0,09) { /////////// }\put(2.3,0,09) { //////////// } \put(1.4,0){\circle{0.05}} \put(0,0){\line (1,0){3}} \end{picture}\\ //////////////////////// \\\\ \/ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \!\frac{3-\sqrt{29} }{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{7}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3+\sqrt{29} }{2}$

Имеем окончательное ОДЗ:

$\displaystyle \boxed{x \in \Big(-\infty; \frac{3-\sqrt{29} }{2} \Big)}$

Возвращаемся к уравнению. Справа и слева логарифмы с основанием 3, поэтому приравниваем их аргументы и решаем квадратное уравнение.

$\displaystyle x^2-3x-5=7-2x \\\\ x^2-3x+2x-5-7 = 0 \\\\ x^2-x-12=0 \\\\ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49 \\\\ x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{49} }{2\cdot1} =\frac{1+7}{2} = 4 \notin \Big(-\infty; \frac{3-\sqrt{29} }{2} \Big) \\\\ x_2 = \frac{-(-1)-\sqrt{49} }{2\cdot1} =\frac{1-7}{2} = (-3) \in \Big(-\infty; \frac{3-\sqrt{29} }{2} \Big)$

Мы нашли всего один корень, который принадлежит ОДЗ. Поэтому, корнем уравнения log₃(x²-3x-5) = log₃(7-2x) является число х=(-3).