Question

Нужно срочно!!!
Розв'яжіть рівняння sin²x-(2a+1)sinx+a²+a=0 для всіх значень параметра a.

Answer 1

$\sin^2x-(2a+1)\sin x+a^2+a=0$

Данное уравнение при любых значениях параметра а является квадратным относительно синуса. Найдем дискриминант:

$D=(2a+1)^2-4(a^2+a)=4a^2+4a+1-4a^2-4a=1$

Тогда:

$\sin x_1=\dfrac{(2a+1)+1}{2} =\dfrac{2a+2}{2} =a+1$

$\sin x_2=\dfrac{(2a+1)-1}{2} =\dfrac{2a}{2} =a$

Так как синус множество значений синуса ограничено отрезком $[-1;\ 1]$, то каждое из двух полученных уравнений будет иметь решения не при любых значениях параметра а.

Найдем, при каких значениях параметра а будет иметь решения первое уравнение $\sin x=a+1$:

$-1\leqslant a+1\leqslant1$

$-2\leqslant a\leqslant0$

Само решение в этих случаях для этого уравнения имеет вид:

$x=(-1)^k\arcsin (a+1)+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Найдем, при каких значениях параметра а будет иметь решения второе уравнение $\sin x=a+1$:

$-1\leqslant a\leqslant1$

Само решение в этих случаях для этого уравнения имеет вид:

$x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Таким образом, окончательно получим:

- если $a\in(-\infty;\ -2)\cup(1;\ +\infty)$, то уравнение решений не имеет;

- если $a\in[-2;\ -1)$, то  $x=(-1)^k\arcsin (a+1)+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$;

- если $a\in[-1;\ 0]$, то $\left[\begin{array}{l} x=(-1)^k\arcsin (a+1)+\pi k\\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}$;

- если $a\in(0;\ 1]$, то $x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$